Портал »

Новый 2020 год
Как встретить Новый 2020 год Золотой Крысы

Текущее время: 07 дек 2019, 05:26

Часовой пояс: UTC + 3 часа




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Геометрия и топология
СообщениеДобавлено: 20 апр 2009, 21:36 
Не в сети
Сенсей
Аватара пользователя

Зарегистрирован: 15 апр 2009, 22:42
Сообщения: 4532
Откуда: Краснодар
Топология - раздел геометрии, изучающий свойства поверхностей.

Самый известный объект, изучаемый в топологии - это лента Мёбиуса.

Одно из важных понятий топологии - гомеоморфизм. Если очень грубо, то гомеоморфны две поверхности, если одну их них можно растянуть так, чтобы она превратилась в другую (каждой точке одной поверхности соответствует точка другой поверхности, при этом сохраняется "близость" точек). "Например, любой круг гомеоморфен любому квадрату, любые два отрезка гомеоморфны, но отрезок не гомеоморфен ни окружности, ни прямой."

"Примером гомеоморфизма может служить соответствие между точками поверхности куба и точками содержащей его произвольной сферы."

В википедии приводится такая шутка: топологи не могут отличить кружку, из которой они пьют, от пончика, который они едят, т.к. эти две поверхности гомеоморфны.
Изображение


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрия и топология
СообщениеДобавлено: 20 апр 2009, 21:37 
Не в сети
Сенсей
Аватара пользователя

Зарегистрирован: 15 апр 2009, 22:42
Сообщения: 4532
Откуда: Краснодар
Изображение

Лента Мёбиуса

[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d9/Möbius_strip.jpg/800px-Möbius_strip.jpg[/img]

В одной руке у вас ножницы. В другой большое кольцо, склеенное из длинной бумажной ленты. Ножницы протыкают эту ленту и аккуратно разрезают ее вдоль - точно посередине. "Ну вот, - подумаете вы, - сейчас получатся два отдельных кольца. Еще последний "вжик" - и..." Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального.
"Такого не бывает", - скажете вы. Бывает. И даже еще не такое. Если только в руках у вас не обычное бумажное кольцо, а удивительная лента Мебиуса.
Изображение

Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.
Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.
Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Точно посередине - вы уже пробовали. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма "затейливое" переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса?.. Попробуйте сами!

Изображение

Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (то есть на 360 градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.
Однако свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди - и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.
Нетрудно догадаться, о чем вы сейчас задумались: а что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить.
Что ж, любопытство ваше оправдано. И у вас есть отличная возможность удовлетворить его самостоятельно! Но при том неплохо было бы воспользоваться такими советами:
1. Взять не бумажную ленту, а полоску любой ткани.
2. Продеть ее сквозь металлическое кольцо.
3. Повернуть один из концов полоски на 3 оборота, т.е. на 540 градусов.
4. Сшить оба конца.
Теперь можно взять ножницы и аккуратно разрезать матерчатое кольцо вдоль посередине. Ножницы лучше брать небольшие и непременно с тупыми концами, дабы в порыве научного любопытства не повредить своему здоровью.
Интересно, кстати, было бы узнать, что у вас получится в результате этого эксперимента?

Изображение

Можно, конечно, провести еще немало опытов с перекручиванием ленты на четыре оборота, на пять, на шесть и с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, и на расстоянии в 1/3 ширины от края, и в 1/4... Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорится: "просто, как все гениальное". Видимо, верно и обратное утверждение: "гениально, как все простое".
И действительно: простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - ТОПОЛОГИЯ.
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.

Источник


Вернуться к началу
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Геометрия и топология
СообщениеДобавлено: 20 апр 2009, 21:37 
Не в сети
Сенсей
Аватара пользователя

Зарегистрирован: 15 апр 2009, 22:42
Сообщения: 4532
Откуда: Краснодар
Кубик-трансформер

Не менее интересна и следующая поделка - кубик-трансформер. Из этой поделки легко сделать сувенир - подвижный календарь, или головоломку по сбору из отдельных кусочков изображения единой картинки. На сторонах кубика можно разместить 9 разных картинок - шесть квадратных снаружи и три прямоугольных внутри.

Волшебный куб составлен из 8 отдельных единичных кубов. Когда вы раскладываете кубик, то можете увидеть три новые поверхности (на рисунке - красная, зеленая, синяя).

Изображение

Восемь отдельных кубиков составляют кубик-трансформер. У каждого отдельного маленького кубика 6 сторон; вместе 6х8=48 сторон, из них 24 видны, 24 скрыты. Раскладывая кубик, вы можете получить 3 прямоугольника, состоящих из 8-ми квадратов каждый. Восемь шарниров располагаются по трем измерениям. Позиции восьми шарниров показаны на следующих рисунках:

Изображение

Еще один рисунок с расположением шарниров:

Изображение

Последовательность открывания кубиков, чтобы получить один из трех прямоугольников нужного цвета, показаны на двух следующих рисунках.

Изображение Изображение

Если вы захотите сделать себе такой кубик-трансформер, то для начала хорошо разберитесь с позициями шарниров. Вы должны соединить восемь одинаковых кубиков восемью кусочками клейкой ленты, например скотчем (показана желтым цветом) или небольшими "язычками" бумаги.

Изображение

Для изготовления волшебного кубика вам потребуется восемь кубиков с длиной стороны 4 см.

Изображение

Также вам потребуются 9 картинок, шесть квадратных размером 8x8 см и три прямоугольных размером 8х16см. Приклейте картинки к поверхностям, затем разрежьте их острым ножом там, где нет шарниров.

Разумеется размеры кубика можно взять любыми, тогда и размеры картинок должны быть изменены соответсвующим образом.

Изображение

Изображение

Источник


Вернуться к началу
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Часовой пояс: UTC + 3 часа


Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Перейти:  



.